PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
на отрезке 
в) Сравните числа 
и 
г) Найдите множество значений функции 
Решение. а) Запишем уравнение в виде 
при условии 
и преобразуем его 
Обозначая временно 
получим
Вернемся к замене переменной
б) Очевидно 
при 
а при 
знаменатель неравенства обнуляется. Таким образом, нужно решить неравенство 
при 
Заметим, что 
и при 
при 
и 
при 
и 
Значит, 
в) Преобразуем исходное число
Заметим, что 
поэтому
и 
следовательно, 
г) Если обозначить 
то
Таким образом, достаточно будет найти область значений функции 
при 
Более того, эта функция не определена при 
и нечетна. Найдем ее область значений при 
Возьмем ее производную и учтем, 
Значит эта функция возрастает. При этом для 
получаем 
поэтому она принимает все значения из промежутка 
тогда при 
она принимает все значения из промежутка 
и область значений 
—
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г) 
в зависимости от a (при 
).
тогда неравенство примет вид 
или 
отсюда 
или 
Окончательно 
откуда 
либо 
—
поэтому 
и возрастает при 
Поскольку 
—
и возрастает при 
Окончательно 
и возрастает на 
Получаем
годится любое t, то есть при 
годится любое 
При прочих b получаем уравнение 
имеющее один корень 
откуда 
—
—
б) 
в) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) при 
— бесконечно много решений; при 
— один корень.
и 
Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих 
и u, и начале координат O.
т. е. 
Ясно, что 
является его корнем, что помогает разложить на множители 
отсюда 
то 
причем 
Подставив такое z, получим
выражение под модулем отрицательно. Значит, 
Домножим обе части на 
и 
(см. рис.).
и 
то 
что действительно возможно при 
поскольку тогда угол между векторами z и 
будет равен 
параллельных оси абсцисс.
на отрезке 
для 
получим 
или 
При этом 
и 
значит, уравнения касательных будут 
и 
При этом 
при 
(при таких x функция возрастает) и 
при 
(при таких x функция убывает). Значит, 
это точка максимума, а 
Пользуясь этими данными построим график. 
то 
и
и возрастает на промежутке 
при этом 
Значит, на всем промежутке длины 
функция принимает значения не большие чем 
поэтому площадь под ее графиком не превосходит 
для всех точек отрезка 
выполнено условие 
то 
на всем этом промежутке. Тогда площадь можно записать в виде 
где 
—
Исследуем эту функцию. Возьмем ее производную
Второй же отрицателен при 
и положителен при 
значит, 
убывает при 
и возрастает при 
то есть ее наименьшее значение достигается при 
и было вычислено в предыдущем пункте. Окончательный ответ: 
такими, что 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет целое решение.
не имеет решений на отрезке 
или 
где второй корень является посторонним, т. к. 
Итого, 
—
График функции 
—
где она пересекается с ветвью параболы (см. пункт а). Значит, условию удовлетворяют все точки, расположенные между этими графиками при 
График изображен справа на рисунке. 
должно быть нечетным. Значит, и a должно быть нечетно. Таких неотрицательных a ровно 6 
) пересекают график 
при 
(при 
пересечение происходит в точке 
прямые слишком пологие, чтобы было пересечение с нужной частью графика, а при 
вообще наклонены в другую сторону и не проходят через вторую четверть. Следовательно, решения есть при 
поэтому уравнение не имеет решений при 
б) см. рис.; в) 
г)