PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Докажите равенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все решения неравенства 
из отрезка 
г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет четыре корня на отрезке 
Решение. а) Докажем что 
Умножим на знаменатель.
Получаем верное равенство. Что и требовалось доказать.
б) Имеем:
Получаем два уравнения. Первое уравнение:
Второе уравнение:
Из второго набора подходят все x, а из первого только те, для которых 
(те, для которых 
посторонние и появились при возведении в квадрат). Итак, 
и 
Окончательно: 
и
в) Преобразуем неравенство:
На промежутке 
функция 
возрастает от −1 до 1, при этом 
и 
Аналогично на промежутке 
функция убывает от 1 до 0, при этом 
Отсюда получаем ответ 
г) Запишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим уравнение 
или 
У него не более двух корней. Заметим, что функция принимает на отрезке 
все значения от 0 до 1 (исключая 1) по два раза, значение 1 один раз, а других значений не принимает вовсе. Таким образом, оба корня квадратного уравнения должны лежать на промежутке 
Запишем уравнение в виде 
и построим график функции 
Это парабола с вершиной при 
и 
Кроме того, 
и 
Теперь проведем горизонтальную прямую 
и посмотрим, как она будет пересекать данную параболу.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
(на самом деле при 
но это неважно). Этот случай подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
Этот случай подходит.
Если же 
то прямая пересечет параболу один раз или ни разу, поэтому больше двух корней быть не может.
Итак, 
откуда 
Ответ: 1. б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г) 
при 
и запишем равенство числителей: 
получим
отсюда 
Возьмем ее производную.
Значит, эта функция убывает на промежутках 
и 
— возрастающая функция, а композиция убывающей и возрастающей функций сама убывает. Поскольку 
при 
и 
получаем окончательный ответ — функция убывает на 
и 
(в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например 
).
поэтому достаточно понять ее значение при 
и предел слева в точке 
б) 
в) функция убывает на 
и 
г) 
и 
противоположны.
Найдите наибольшее значение 
то либо 
либо 
то есть 
а значит 
Ответ 
или 
то 
Получаем, что 
— уравнение прямой.
то 
и радиусом 
откуда и 
Тогда
и для точки 
получаем 
б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 3.
— парабола с вершиной при 
(эта точка не лежит в области 
и на графике не появится). 
— парабола с вершиной при 
При 
Теперь можно построить график.
на отрезке от 2 до 4 состоит из площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом 1, поэтому 
тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Получаем
Тогда из первого уравнения, 
и имеет корень 
Второе уравнение превратится в 
и имеет корень 
в) 
г) 
при 
при 
имеет решения.
не имеет решений.
и при 
можно возвести неравенство в квадрат, получаем 
что верно при 
При этом условии можно возвести в квадрат еще раз.
получаем 
так что это посторонний корень.
то есть
можно взять любое 
и возведения в квадрат полученного уравнения получим 
откуда 
но такое x не входит в ОДЗ.
неравенcтво не выполнено нигде (положительное число не может быть не больше неположительного), такие b подходят. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
то это неравенство не выполнено нигде — неотрицательное число не может быть не больше отрицательного. Тем самым еще подходят 
то неравенство сводится к 
Тем самым решениями неравенства будут 
— это непустое множество.
б) 
в) 
г) 