Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4600
i

Най­ди­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния \ctg левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние:

\ctg левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс } левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 3 не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5x минус 3 = 2x плюс 3 плюс Пи k конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n}2, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , конец си­сте­мы . n, k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

По­сколь­ку x боль­ше 0, имеем:

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k}7 боль­ше 0 рав­но­силь­но Пи минус 12 минус 2 Пи k боль­ше 0 рав­но­силь­но k мень­ше дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi минус 12, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби .

Так как  минус 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи минус 12, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби мень­ше минус 1, наи­боль­шее целое зна­че­ние k, удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству, равно −2. Таким об­ра­зом, наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень есть

x_0 = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи }7 = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Оста­лось про­ве­рить, что х0 лежит в ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния. Для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие x_0 не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то есть чтобы ни при каких целых зна­че­ни­ях n, не имело ре­ше­ний урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n}2 рав­но­силь­но 10 Пи минус 24 = 7 Пи минус 42 плюс 14 n рав­но­силь­но n = дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи плюс 18, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

Пра­вая часть по­лу­чен­но­го урав­не­ния  — ир­ра­ци­о­наль­ное число, а по­то­му ко­рень х0 лежит в ОДЗ.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Чтобы из­бе­жать про­вер­ки корня под­ста­нов­кой, можно было ре­шить си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n}2, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi k, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец си­сте­мы .

в общем виде. При­рав­ня­ем левые части:

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n}2 = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi k, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби рав­но­силь­но 7 Пи минус 42 плюс 14 Пи n = 2 Пи минус 24 минус 4 Пи k рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 4 Пи k плюс 14 Пи n = 18 минус 5 Пи рав­но­силь­но 4k плюс 14n = дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби минус 5.

По­лу­чен­ное ра­вен­ство не­воз­мож­но ни для каких целых зна­че­ний n и k, так как пра­вая часть ир­ра­ци­о­наль­на. Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся все числа серии  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби и толь­ко они.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4606

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2007 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 4 из 10