Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4606
i

Най­ди­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния \ctg левая круг­лая скоб­ка 3x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние, пе­рей­дя к след­ствию:

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3x плюс 2=4x плюс 3 плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби k, k при­над­ле­жит Z .

Ясно что при k=0 ко­рень  дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби боль­ше нуля. При от­ри­ца­тель­ных k по­лу­чат­ся корни, боль­шие чем  дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби . При k боль­ше или равно 1 все корни от­ри­ца­тель­ны:

 дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2 минус 4 Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 2 минус 3 Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби мень­ше 0.

Про­ве­рим, что ре­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ ис­ход­но­го урав­не­ния. До­ста­точ­но про­ве­рить, что опре­де­ле­на пра­вая часть, тогда будет опре­де­ле­на и рав­ная ей левая часть. За­ме­тим, что

4x плюс 3 = 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Пи минус 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс 3 = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи минус 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 3= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 17, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

По­ка­жем, что это число лежит на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка :

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 Пи плюс 17, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше 4 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

а зна­чит, тан­генс опре­де­лен.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4600

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2007 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 4 из 10