PDF-версии: 
Укажите координаты всех точек оси Oy, имеющих положительные ординаты и обладающих тем свойством, что касательные, проведенные через каждую из таких точек к графику функции 
высекают на оси абсцисс отрезок длины 
Решение. Прямая 
является касательной к гиперболе тогда и только тогда, когда имеет с гиперболой одну общую точку и при этом не параллельна асимптоте (то есть не горизонтальна). Или иначе, уравнение 
имеет ровно один корень. Преобразуем его:
Значит, дискриминант этого уравнения равен нулю, то есть
Итак, уравнения касательных, проходящих через точку 
имеют вид 
Найдем теперь точки пересечения этих касательных с осью абсцисс, решив уравнение 
откуда 
По условию, разность абсцисс точек пересечения равна 
Составим уравнение
Поскольку 
получаем 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |