PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых касательная к графику функции 
проведенная в точке графика с абсциссой −1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
Решение. По условию задачи график функции и касательная к нему имеют ровно одну общую точку — точку касания с абсциссой 
Составим уравнение касательной в виде
где 
и 
— значения функции и ее производной при 
Тогда уравнение
или после преобразования
имеет единственный действительный корень 
Так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, то это может быть лишь в двух случаях: когда -1 имеет кратность два и других действительных корней нет, либо когда -1 имеет кратность 4. Таким образом, многочлен в левой части уравнения разлагается на множители:
Дискриминант квадратного трехчлена 
— неположительное число, если 
Но при 
кратный корень равен 1, что противоречит условию задачи.
Следовательно, график функции и касательная к нему имеют ровно одну общую точку при всех 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |