Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма (как от­но­ше­ние двух диф­фе­рен­ци­ру­е­мых функ­ций) при всех зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та, за ис­клю­че­ни­ем

Ис­сле­ду­ем функ­цию на про­ме­жут­ке

1)  На этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, гра­фик функ­ции рас­по­ло­жен ниже оси абс­цисс.

2)  Ее про­из­вод­ная при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, функ­ция убы­ва­ю­щая.

3)  Ее вто­рая про­из­вод­ная при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, гра­фик функ­ции имеет вы­пук­лость вверх.

4)    — кри­вая функ­ции асимп­то­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся к пря­мой снизу.

  — кри­вая гра­фи­ка функ­ции асимп­то­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся к пря­мой слева.

5)  Мно­же­ство зна­че­ний функ­ции

Ис­сле­ду­ем функ­цию на про­ме­жут­ке

1)  На этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, гра­фик функ­ции рас­по­ло­жен выше оси абс­цисс.

2)  Ее про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в ноль при Если то   — функ­ция убы­ва­ет; если то   — функ­ция воз­рас­та­ет.

3)  Точка   — точка ми­ни­му­ма, а зна­че­ние функ­ции при рав­ное 1, ее наи­мень­шее зна­че­ние.

4)  Вто­рая про­из­вод­ная при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, гра­фик функ­ции имеет вы­пук­лость вниз.

5)    — кри­вая функ­ции асимп­то­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся к пря­мой спра­ва.

6)  Мно­же­ство зна­че­ний функ­ции

Таким об­ра­зом, гра­фик функ­ции со­сто­ит из двух кри­вых, не пе­ре­се­ка­ю­щих ось абс­цисс и не име­ю­щих точек пе­ре­ги­ба. Он изоб­ра­жен на ри­сун­ке.