Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4508
i

Ис­сле­дуй­те функ­цию y= дробь: чис­ли­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x конец дроби . (Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния, мно­же­ство зна­че­ний, про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти, точки экс­тре­му­ма, экс­тре­му­мы, про­ме­жут­ки вы­пук­ло­сти, асимп­то­ты, нули.) По­строй­те ее гра­фик.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1)  Функ­ция опре­де­ле­на при всех x боль­ше 0. При этих зна­че­ни­ях x она диф­фе­рен­ци­ру­е­ма.

2)  При x = 1 y = 0. При­чем, если x мень­ше 1, y мень­ше 0, если x боль­ше 1, y боль­ше 0.

3)  Возь­мем про­из­вод­ную: y' = дробь: чис­ли­тель: 1 минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби ; y' = 0, если x = e. На про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0;e пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция воз­рас­та­ет, так как для этих зна­че­ний x y' боль­ше 0; на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка e; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция убы­ва­ет, так как y' мень­ше 0. Точка x = e  — точка мак­си­му­ма.

4)  Так как x = e  — един­ствен­ная точка экс­тре­му­ма, зна­че­ние функ­ции в этой точке, рав­ное дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби e,  — ее наи­боль­шее зна­че­ние.

5)  Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную: y'' = дробь: чис­ли­тель: 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус 3, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби ; y'' = 0, если x = e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . На про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0;e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция имеет вы­пук­лость, так как для этих зна­че­ний x y'' мень­ше 0; на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция имеет во­гну­тость, так как y'' боль­ше . Таким об­ра­зом, x = e в сте­пе­ни { дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби   — точка пе­ре­ги­ба. зна­че­ние функ­ции в этой точке равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби , зна­че­ние про­из­вод­ной минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 2e в кубе .

6)  Для опре­де­ле­ния воз­мож­но­го су­ще­ство­ва­ния асимп­тот нужно вы­яс­нить по­ве­де­ние функ­ции на кон­цах об­ла­сти ее опре­де­ле­ния, то есть при x \to 0 и x \to плюс бес­ко­неч­ность .

Имеем: \undersetx\to 0\mathop\lim y = минус бес­ко­неч­ность , то есть кри­вая гра­фи­ка функ­ции асимп­то­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся спра­ва к пря­мой x = 0; \undersetx\to плюс бес­ко­неч­ность \mathop\lim y = 0, то есть кри­вая функ­ции асимп­то­ти­че­ски при­бли­жа­ет­ся свер­ху к пря­мой y = 0.

7)  На ос­но­ве ре­зуль­та­тов пунк­тов 4 и 6 де­ла­ем вывод, что мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  — про­ме­жу­ток левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби e пра­вая круг­лая скоб­ка .

8)  Гра­фик функ­ции y = дробь: чис­ли­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм x, зна­ме­на­тель: x конец дроби изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4514

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 8 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025