Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4508

Исследуйте функцию y= дробь: числитель: \ln x, знаменатель: x конец дроби . (Найдите область определения, множество значений, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, промежутки выпуклости, асимптоты, нули.) Постройте ее график.

Спрятать решение

Решение.

1) Функция определена при всех x больше 0. При этих значениях x она дифференцируема.

2) При x = 1 y = 0. Причем, если x меньше 1, y меньше 0, если x больше 1, y больше 0.

3) Возьмем производную: y' = дробь: числитель: 1 минус \ln x, знаменатель: x в квадрате конец дроби ; y' = 0, если x = e. На промежутке (0;e) функция возрастает, так как для этих значений x y' больше 0; на промежутке (e; плюс принадлежит fty) функция убывает, так как y' меньше 0. Точка x = e — точка максимума.

4) Так как x = e — единственная точка экстремума, значение функции в этой точке, равное  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e, — ее наибольшее значение.

5) Возьмем вторую производную: y'' = дробь: числитель: 2\ln x минус 3, знаменатель: x в кубе конец дроби ; y'' = 0, если x = e в степени (\textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ) . На промежутке (0;e в степени (\textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ) ) функция имеет выпуклость, так как для этих значений x y'' меньше 0; на промежутке (e в степени (\textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ) ; плюс принадлежит fty) функция имеет вогнутость, так как y'' больше . Таким образом, x = e в степени { \textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби  — точка перегиба. значение функции в этой точке равно  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2e в степени (\textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ) конец дроби , значение производной  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2e в кубе .

6) Для определения возможного существования асимптот нужно выяснить поведение функции на концах области ее определения, то есть при x \to 0 и x \to плюс принадлежит fty.

Имеем: \undersetx\to 0\mathop\lim y = минус принадлежит fty, то есть кривая графика функции асимптотически приближается справа к прямой x = 0; \undersetx\to плюс принадлежит fty\mathop\lim y = 0, то есть кривая функции асимптотически приближается сверху к прямой y = 0.

7) На основе результатов пунктов 4 и 6 делаем вывод, что множество значений функции — промежуток  левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e правая круглая скобка .

8) График функции y = дробь: числитель: \ln x, знаменатель: x конец дроби изображен на рисунке.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4514

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 8 из 10