PDF-версии: 
Исследуйте функцию 
(Найдите область определения, множество значений, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, промежутки выпуклости, асимптоты, нули.) Постройте ее график.
Решение. Функция 
определена и дифференцируема (как отношение двух дифференцируемых функций) при всех значениях аргумента, за исключением 
Исследуем функцию на промежутке 
1) На этом промежутке функция принимает отрицательные значения, значит, график функции расположен ниже оси абсцисс.
2) Ее производная 
принимает отрицательные значения, значит, функция убывающая.
3) Ее вторая производная 
принимает отрицательные значения, значит, график функции имеет выпуклость вверх.
4) 
— кривая функции асимптотически приближается к прямой 
снизу.
— кривая графика функции асимптотически приближается к прямой 
слева.
5) Множество значений функции 
Исследуем функцию на промежутке 
1) На этом промежутке функция принимает положительные значения, значит, график функции расположен выше оси абсцисс.
2) Ее производная обращается в ноль при 
Если 
то 
— функция убывает; если 
то 
— функция возрастает.
3) Точка 
— точка минимума, а значение функции при 
равное 1, ее наименьшее значение.
4) Вторая производная принимает положительные значения, значит, график функции имеет выпуклость вниз.
5) 
— кривая функции асимптотически приближается к прямой справа.
6) Множество значений функции 
Таким образом, график функции состоит из двух кривых, не пересекающих ось абсцисс и не имеющих точек перегиба. Он изображен на рисунке.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |