На прямой 
найдите все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функции 
и угол между этими касательными равен 
Уравнение касательной к графику функции 
проведенной через его точку с абсциссой 
имеет вид
Выясним, при каких 
касательная проходит через точку вида 
где 
(т. е. точку, принадлежащую прямой ):
Отметим, что решение 
означает, что прямая сама является касательной к графику функции проведенной в точке 
Пусть 
— угол между касательными 
и 
Тогда 
где 
и \beta — углы наклона прямых и 
к положительному направлению оси Ox соответственно.
Тогда 
По условию 
Итак, получаем уравнение:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 4485