Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4491
i

На пря­мой y=6x минус 9 най­ди­те все такие точки, что через каж­дую из них про­хо­дят ровно две ка­са­тель­ные к гра­фи­ку функ­ции y=x в квад­ра­те и угол между этими ка­са­тель­ны­ми равен дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y = x в квад­ра­те , про­ве­ден­ной через его точку с абс­цис­сой x_0, имеет вид

y = 2x_0x минус x в квад­ра­те .

Вы­яс­ним, при каких x_0 ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку вида левая круг­лая скоб­ка a; 6a минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , где a при­над­ле­жит R (т. е. точку, при­над­ле­жа­щую пря­мой y=6x минус 9):

2x_0a минус x_0 в квад­ра­те = 6a минус 9, x_0 в квад­ра­те минус 2ax_0 плюс 6a минус 9 = 0, x_0 = a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те минус 6a плюс 9 конец ар­гу­мен­та .

x_0 = 2a минус 3; x_0 = 3.

От­ме­тим, что ре­ше­ние x_0 = 3 озна­ча­ет, что пря­мая y=6x минус 9 сама яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y = x в квад­ра­те , про­ве­ден­ной в точке левая круг­лая скоб­ка 3; 9 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть \varphi  — угол между ка­са­тель­ны­ми y = 6x минус 9 и 2 левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Тогда тан­генс \varphi = тан­генс левая круг­лая скоб­ка бета минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , где альфа и \beta  — углы на­кло­на пря­мых y = 6x минус 9 и y = 2 левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси Ox со­от­вет­ствен­но.

Тогда тан­генс альфа = 6, тан­генс бета = 2 левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . По усло­вию тан­генс \varphi = 1.

Итак, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

тан­генс левая круг­лая скоб­ка бета минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: тан­генс бета минус тан­генс альфа , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс бета тан­генс альфа конец дроби = 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4a минус 6 минус 6, зна­ме­на­тель: 1 плюс 12 левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 1 рав­но­силь­но a = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби ; 6a минус 9 = минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4485

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025