Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4491

На прямой y=6x минус 9 найдите все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функции y=x в квадрате и угол между этими касательными равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Уравнение касательной к графику функции y = x в квадрате , проведенной через его точку с абсциссой x_0, имеет вид

y = 2x_0x минус x в квадрате .

Выясним, при каких x_0 касательная проходит через точку вида (a; 6a минус 9), где a принадлежит R (т. е. точку, принадлежащую прямой y=6x минус 9):

2x_0a минус x_0 в квадрате = 6a минус 9, x_0 в квадрате минус 2ax_0 плюс 6a минус 9 = 0, x_0 = a\pm корень из (a в квадрате минус 6a плюс 9) .

x_0 = 2a минус 3; x_0 = 3.

Отметим, что решение x_0 = 3 означает, что прямая y=6x минус 9 сама является касательной к графику функции y = x в квадрате , проведенной в точке (3; 9).

Пусть \varphi — угол между касательными y = 6x минус 9 и 2(2a минус 3)x минус (2a минус 3) в квадрате . Тогда  тангенс \varphi = тангенс ( бета минус альфа ), где  альфа и \beta — углы наклона прямых y = 6x минус 9 и y = 2(2a минус 3)x минус (2a минус 3) в квадрате к положительному направлению оси Ox соответственно.

Тогда  тангенс альфа = 6,  тангенс бета = 2(2a минус 3). По условию  тангенс \varphi = 1.

Итак, получаем уравнение:

 тангенс ( бета минус альфа ) = 1 равносильно дробь: числитель: тангенс бета минус тангенс альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс бета тангенс альфа конец дроби = 1 равносильно дробь: числитель: 4a минус 6 минус 6, знаменатель: 1 плюс 12(2a минус 3) конец дроби = 1 равносильно a = дробь: числитель: 23, знаменатель: 20 конец дроби ; 6a минус 9 = минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 10 конец дроби .

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 23, знаменатель: 20 конец дроби ; минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4485

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1997 год, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 9 из 10