PDF-версии: 
На прямой 
найдите все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функции 
и угол между этими касательными равен 
Решение. Если прямая
касается параболы 
то уравнение 
имеет единственный корень, то есть у уравнения 
дискриминант равен нулю. Значит, 
Итак, касательные имеют вид 
В частности, сама прямая 
которая получается при 
является касательной. Поскольку из одной точки можно провести не более двух касательных к параболе, вторая прямая должна образовывать с этой угол 
(или 
). Вычислим угол между прямыми и
То есть либо 
тогда 
Однако для этой касательной угол между касающимися лучами равен (см. рис.). Либо 
откуда 
Для этой касательной угол между касающимися лучами равен (см. рис.). Осталось найти точку пересечения ее с прямой 
Решим уравнение:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |