PDF-версии: 
Исследуйте функцию 
на возрастание, убывание и экстремумы. Найдите наибольшее значение функции на промежутке 
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на ℝ. Найдем ее производную: 
Решив уравнение 
отыщем критические точки
Корни уравнения разбивают множество действительных чисел на четыре промежутка. Определим знак производной на каждом из них (см. рис.).
Следовательно, на промежутках 
и 
функция убывает, а на промежутках 
и 
возрастает. Точки 
являются точками экстремума, найдем экстремумы: 
и 
Определим наибольшее значение функции на промежутке 
Указанному числовому отрезку принадлежат только две точки экстремума: 
и 
причем одна из них является концом отрезка Сравнив эти экстремумы со значением функции 
на другом конце отрезка, получаем 
Ответ: и функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и 
где
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и где и функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и где