Из всех прямоугольников, имеющих периметр 48 см, найдите стороны того, который имеет наибольшую площадь.
Пусть x см — длина прямоугольника, тогда, зная периметр, выразим его ширину см. Отсюда площадь прямоугольника равна
Рассмотрим функцию
где Выясним, при каких x она достигает наибольшего значения. Найдем ее производную
На промежутке
есть одна критическая точка
являющаяся точкой максимума. В ней функция S(x) принимает свое наибольшее значение. Итак, 12 см длина искомого прямоугольника, а ширина равна
Ответ:
Замечание. Полезно отметить, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Задание парного варианта: 3927

