PDF-версии: 
Из всех прямоугольников, имеющих периметр 48 см, найдите стороны того, который имеет наибольшую площадь.
Решение. Пусть x см — длина прямоугольника, тогда, зная периметр, выразим его ширину 
см. Отсюда площадь прямоугольника равна 
Рассмотрим функцию
где 
Выясним, при каких x она достигает наибольшего значения. Найдем ее производную 
На промежутке 
есть одна критическая точка 
являющаяся точкой максимума. В ней функция S(x) принимает свое наибольшее значение. Итак, 12 см длина искомого прямоугольника, а ширина равна 
Ответ: 
Замечание. Полезно отметить, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |