Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3898

Известно, что прямая, заданная уравнением y= минус 9x плюс 2, является касательной к графику функции y=x в кубе минус 7x в квадрате плюс 2x минус 3. Найдите координаты точки касания.

Спрятать решение

Решение.

Касательная к графику дифференцируемой в точке x_0 функции y(x) — это прямая, проходящая через точку (x_0; y(x_0)) и имеющая угловой коэффициент y'(x_0). Найдем производную в точке с абсциссой x_0. Так

y'(x_0)=3x_0 в квадрате минус 14x_0 плюс 2.

Из условия имеем

3x_0 в квадрате минус 14x_0 плюс 2= минус 9 равносильно 3x_0 в квадрате минус 14x_0 плюс 11=0 равносильно совокупность выражений x=1,x= дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .

Итак, в точках с абсциссами 1 и  дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби касательные к графику функции y(х) имеют угловой коэффициент y'(x_0). Найдем ординаты точек касания. Если x_0=1, то y_0=1 в кубе минус 7 умножить на 1 в квадрате плюс 2 умножить на 1 минус 3= минус 7. Если x_0= дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби , то

y_0= левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус 7 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 2 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби минус 3= минус целая часть: 40, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 27 .

Проверим, удовлетворяют ли найденные координаты уравнению данной прямой. Проверим оба корня: первый является действительным  минус 7= минус 9 умножить на 1 плюс 2, второй нет, т. к.

 минус целая часть: 40, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 27 не равно минус 9 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2.

Следовательно, прямая, заданная уравнением y= минус 9x плюс 2, касается графика функции y=x в кубе минус 7x в квадрате плюс 2x минус 3 в точке с координатами (1; минус 7).

 

Ответ: (1; минус 7).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3904

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1999 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10