Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3904
i

Из­вест­но, что пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем y= минус 10x плюс 1, яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=x в кубе минус 5x в квад­ра­те минус 3x минус 2. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция y левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 5x в квад­ра­те минус 3x минус 2 опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ. Об­ра­тим­ся к гео­мет­ри­че­ско­му смыс­лу про­из­вод­ной. Так y' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =k, где k  — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции в точке  левая круг­лая скоб­ка x_0, y левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем про­из­вод­ную в точке с абс­цис­сой x_0, то

y' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те _0 минус 10x_0 минус 3.

Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен −10, по­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

3x в квад­ра­те минус 10x минус 3= минус 10 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 10x в квад­ра­те плюс 7=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Най­дем ор­ди­на­ты точек ка­са­ния: y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус 5 умно­жить на 1 минус 3 умно­жить на 1 минус 2= минус 9 и

y левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 5 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2= минус целая часть: 23, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 27 .

Про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ют ли по­лу­чен­ные зна­че­ния x и у урав­не­нию дан­ной пря­мой. Про­ве­рим оба корня: пер­вый яв­ля­ет­ся дей­стви­тель­ным  минус 9= минус 10 умно­жить на 1 плюс 1, вто­рой нет, т. к.

 минус целая часть: 23, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 27 не равно минус 10 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1.

Таким об­ра­зом, пря­мая, за­дан­ная урав­не­ни­ем y= минус 10x плюс 1, ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции y=x в кубе минус 5x в квад­ра­те минус 3x минус 2 в точке  левая круг­лая скоб­ка 1; минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 1; минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3898

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 5 из 10