РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3567

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=x в квадрате плюс 2x,$ касательной к этому графику, проходящей через точку с абсциссой $x= минус 2,$ и осью ординат.

Спрятать решение

Решение.

В первом варианте мы находили уравнение касательной традиционным путем. Здесь мы покажем другой способ. Пусть касательная, проходящая через точку графика с абсциссой x  =  −2, имеет уравнение $y=k левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс p.$ Тогда уравнение

$x в квадрате плюс 2x=kx плюс 2k плюс p \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

должно иметь два равных корня $x_1=x_2= минус 2,$ где $4 минус 4= минус 2k плюс 2k плюс p=0$ откуда p  =  0. Уравнение (1) примет вид

$x в квадрате плюс x левая круглая скобка 2 минус k правая круглая скобка минус 2k=0,$

и его дискриминант D должен быть равен нулю:

$D=4 минус 4k плюс k в квадрате плюс 8k= левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =0,$

откуда k  =  −2. Таким образом, уравнение касательной $y= минус 2x минус 4,$ а точка касания P (−2; 0). Касательная пересекает ось ординат в точке M (0; −4) (см. рис.). Искомая площадь $S=S_\Delta POM минус S_1,$ где S₁  — площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y=x в квадрате плюс 2x$ и осью абсцисс. Найдем $S_\Delta POM=4$ и

$S_1= интеграл пределы: от минус 2 до 0, левая круглая скобка минус x в квадрате минус 2x правая круглая скобка dx = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус x в квадрате правая круглая скобка | пределы: от минус 2 до 0, = 0 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$

тогда $S=4 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3561

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь