Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3531
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=x в кубе , y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та , y=1 и y=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Рас­суж­де­ния, со­вер­шен­но ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ни­ям в ва­ри­ан­те Ⅰ (за­да­ние 4), при­во­дят нас к вы­чис­ле­ни­ям (см. рис.): S_ABLP=AP умно­жить на AB=1 умно­жить на 3=3,

S_OAP = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, \left x в кубе dx = \left дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби | пре­де­лы: от 0 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

S_CBL = ин­те­грал пре­де­лы: от 3 до 4, \left ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та dx = \left дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та | пре­де­лы: от 3 до 4, = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

и

S_ABCP = 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но S_ис­ко­мая= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

 

За­ме­ча­ние. Про­де­мон­стри­ру­ем на за­да­нии 4 хо­ро­ший спо­соб со­по­став­ле­ния (вза­им­ной про­вер­ки) от­ве­тов двух од­но­тип­ных задач. Не­труд­но ви­деть, что гео­мет­ри­че­ски фи­гу­ра OABC ва­ри­ан­та Ⅱ может быть по­лу­че­на из ана­ло­гич­ной фи­гу­ры ABCD ри­су­нок из ва­ри­ан­та Ⅰ «раз­ре­зом» по­след­ней по линии FD, «раз­движ­кой» по «го­ри­зон­та­ли» и «встав­кой» квад­ра­та со сто­ро­ной 1. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь фи­гу­ры ОАВС долж­на быть боль­ше пло­ща­ди фи­гу­ры ABCD на 1 кв ед. (что и имеет место).

 

Ⅱ  спо­соб. Не­мно­го пе­ре­стро­им ри­су­нок, до­ба­вив фраг­мент гра­фи­ка функ­ции y= ко­рень из x минус 1, x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (линия FP на ри­сун­ке). За­ме­тим, что фи­гу­ра СМВ равна фи­гу­ре FOP. Тогда ис­ко­мая пло­щадь может быть вы­чис­ле­на как сумма пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ка AМСР и кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры OAPF.

Най­дем:

S_OAPF= ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ,

тогда S_общая=2 плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3525

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 4 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025