Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3317
i

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пра­виль­ные четырёхуголь­ные приз­мы, сумма всех ребер каж­дой из ко­то­рых равна b (b > 0). Най­ди­те среди них приз­му с наи­боль­шим объ­е­мом (в от­ве­те ука­жи­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния такой приз­мы).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x  — сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы, y  — ее бо­ко­вое ребро. По усло­вию

8x плюс 4y=b рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2x.

Объем приз­мы равен x в квад­ра­те умно­жить на y рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка . Длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния приз­мы долж­на быть мень­ше b, де­лен­но­го на число ребер приз­мы, яв­ля­ю­щих­ся сто­ро­на­ми ее ос­но­ва­ний, т. е. на 8. Из гео­мет­ри­че­ско­го смыс­ла ве­ли­чи­ны x также сле­ду­ет x > 0. За­да­ча све­лась к на­хож­де­нию x, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0 ; дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Ис­сле­ду­ем по­лу­чен­ную функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: bx, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 6x в квад­ра­те рав­но­силь­но f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6x левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка на рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле x= дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . При 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , про­из­вод­ная боль­ше нуля  — функ­ция воз­рас­та­ет; при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , про­из­вод­ная мень­ше нуля  — функ­ция убы­ва­ет. Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f(x) на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0 ; дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка до­сти­га­ет­ся при x= дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

 

За­ме­ча­ние. Об­ра­ти­те вни­ма­ние: ис­ко­мая приз­ма  — куб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3311

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10