Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные призмы, сумма всех ребер каждой из которых равна b (b > 0). Найдите среди них призму с наибольшим объемом (в ответе укажите сторону основания такой призмы).
Пусть x — сторона основания призмы, y — ее боковое ребро. По условию
Объем призмы равен Длина стороны основания призмы должна быть меньше b, деленного на число ребер призмы, являющихся сторонами ее оснований, т. е. на 8. Из геометрического смысла величины x также следует x > 0. Задача свелась к нахождению x, при котором достигается наибольшее значение функции
на интервале
Исследуем полученную функцию при помощи производной:
Единственная критическая точка на рассматриваемом интервале При
производная больше нуля — функция возрастает; при
производная меньше нуля — функция убывает. Наибольшее значение функции f(x) на интервале
достигается при
Ответ:
Замечание. Обратите внимание: искомая призма — куб.
Задание парного варианта: 3311

