PDF-версии: 
Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные призмы, сумма всех ребер каждой из которых равна b (b > 0). Найдите среди них призму с наибольшим объемом (в ответе укажите сторону основания такой призмы).
Решение. Пусть x — сторона основания призмы, y — ее боковое ребро. По условию
Объем призмы равен 
Длина стороны основания призмы должна быть меньше b, деленного на число ребер призмы, являющихся сторонами ее оснований, т. е. на 8. Из геометрического смысла величины x также следует x > 0. Задача свелась к нахождению x, при котором достигается наибольшее значение функции 
на интервале 
Исследуем полученную функцию при помощи производной:
Единственная критическая точка на рассматриваемом интервале 
При 
производная больше нуля — функция возрастает; при 
производная меньше нуля — функция убывает. Наибольшее значение функции f(x) на интервале 
достигается при
Ответ: 
Замечание. Обратите внимание: искомая призма — куб.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |