PDF-версии: 
Фигура ограничена линиями 
и 
Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой 
делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.
Решение. Найдем значение a, при котором отрезок прямой заключенный внутри фигуры, имеет наибольшую длину. Поскольку для абсцисс точек этой фигуры выполняется условие 
длина отрезка дается формулой 
Рассмотрим квадратичную функцию 
Ее наибольшее значение достигается при 
Итак, при 
отрезок имеет наибольшую длину.
Найдем абсциссы точек пересечения прямой 
и параболы 
Решая уравнение 
или 
находим: 0 и 4. Выразим площади частей, на которые отрезок делит фигуру:
Таким образом, 
что и требовалось доказать.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |