Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3280
i

Най­ди­те ту пер­во­об­раз­ную функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x минус 2, гра­фик ко­то­рой ка­са­ет­ся пря­мой y= минус 4x. Также вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком най­ден­ной пер­во­об­раз­ной и пря­мы­ми y= минус 4x и y=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­во­об­раз­ная F(x) функ­ции f(x) может быть вы­чис­ле­на так

F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ин­те­грал f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=x в квад­ра­те минус 2x плюс c.

Най­дем то зна­че­ние x, при ко­то­ром уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции F(x) равен −4. По усло­вию F' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x минус 2 и 2x минус 2= минус 4, от­сю­да x= минус 1. Усло­вие ра­вен­ства зна­че­ний функ­ций y= минус 4x и y=F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в точке x= минус 1 такое:  минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс c, от­ку­да c=1. Зна­чит, ис­ко­мая пер­во­об­раз­ная имеет вид: F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 2x плюс 1. За­дан­ная фи­гу­ра вы­де­ле­на штри­хов­кой на ри­сун­ке. Вы­чис­лим ее пло­щадь как раз­ность пло­ща­дей кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции ABD и тре­уголь­ни­ка ABO. Для вы­чис­ле­ний не­об­хо­ди­мо знать ко­ор­ди­на­ты точек A, B, D: D левая круг­лая скоб­ка 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , A левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и B левая круг­лая скоб­ка минус 1; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда

S_\Delta ABO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на AB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на 4=2

и

 S_ABD= ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = \left дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от минус 1 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ис­ко­мая пло­щадь равна  S_ABD минус S_\Delta ABO= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: пер­во­об­раз­ная y=x в квад­ра­те минус 2x плюс 1, пло­щадь  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3274

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных
?
Сложность: 5 из 10