Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3279
i

Най­ди­те кри­ти­че­ские точки функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 синус x плюс ко­рень из 2 x. Ука­жи­те одну из точек мак­си­му­ма.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку дан­ная функ­ция f(x) диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  R , кри­ти­че­ские точки функ­ции f(x) можно найти из усло­вия f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, т. е. 2 ко­си­нус x плюс ко­рень из 2 =0, или  ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . От­сю­да по­лу­ча­ем, что кри­ти­че­ски­ми точ­ка­ми будут те зна­че­ния x, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся x=\pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Если в кри­ти­че­ской точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, то это точка мак­си­му­ма. Рас­смот­рим любой из про­ме­жут­ков, со­дер­жа­щих един­ствен­ную кри­ти­че­скую точку. Пусть это будет про­ме­жу­ток  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Ему при­над­ле­жит един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Вы­чис­лим зна­че­ния про­из­вод­ной на кон­цах про­ме­жут­ка f' левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 плюс ко­рень из 2 боль­ше 0 и f' левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 плюс ко­рень из 2 мень­ше 0. Зна­чит, в точке  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, т. е.  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби   — точка мак­си­му­ма.

 

Ответ: кри­ти­че­ские точки \pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, где n при­над­ле­жит Z ;  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби   — точка мак­си­му­ма.

 

За­ме­ча­ние. Могло слу­чить­ся так, что в вы­бран­ном пер­во­на­чаль­но про­ме­жут­ке кри­ти­че­ская точка ока­за­лась бы точ­кой ми­ни­му­ма. Тогда сле­до­ва­ло бы рас­смот­реть со­сед­ний про­ме­жу­ток, на ко­то­ром рас­по­ло­же­на одна кри­ти­че­ская точка.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3273

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 4 из 10