PDF-версии: 
Найдите критические точки функции 
Укажите одну из точек максимума.
Решение. Поскольку данная функция f(x) дифференцируема на 
критические точки функции f(x) можно найти из условия 
т. е. 
или 
Отсюда получаем, что критическими точками будут те значения x, для которых выполняется 
Если в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума. Рассмотрим любой из промежутков, содержащих единственную критическую точку. Пусть это будет промежуток 
Ему принадлежит единственная критическая точка 
Вычислим значения производной на концах промежутка 
и 
Значит, в точке 
производная меняет знак с плюса на минус, т. е. —
Ответ: критические точки 
где 
—
Замечание. Могло случиться так, что в выбранном первоначально промежутке критическая точка оказалась бы точкой минимума. Тогда следовало бы рассмотреть соседний промежуток, на котором расположена одна критическая точка.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где — где —