Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3124

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси OY и образующими между собой угол 90°.

Спрятать решение

Решение.

Если прямая y=kx плюс b касается параболы y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5, то уравнение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5=kx плюс b имеет единственный корень, то есть у уравнения x в квадрате минус 2kx плюс 5 минус 2b=0 дискриминант равен нулю. Значит,

4k в квадрате минус 4(5 минус 2b)=0 равносильно k в квадрате минус 5 плюс 2b=0,

откуда b= дробь: числитель: 5 минус k в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . Итак, касательные имеют вид y=kx плюс дробь: числитель: 5 минус k в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Две касательные пересекаются на оси OY, если у них одинаковый свободный член в уравнениях прямых, что возможно только при противоположных k. Кроме того, раз эти прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно −1, откуда k умножить на ( минус k)= минус 1, k=\pm 1 и уравнения касательных имеют вид y=\pm x плюс 2.

Ясно, что эти касательные симметричны друг другу относительно вертикальной оси, а график y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5 тоже симметричен относительно нее. Поэтому можно посчитать площадь только той части фигуры, которая лежит в полуплоскости x больше или равно 0 и удвоить ее. Касательная проходит ниже параболы, поскольку ветви параболы направлены вверх, и касается параболы в точке, абсцисса которой удовлетворяет уравнению

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5=x плюс 2 равносильно x в квадрате плюс 5=2x плюс 4 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 1=0 равносильно (x минус 1) в квадрате =0 равносильно x=1.

Значит искомая площадь равна

S=2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5 минус (x плюс 2))dx=2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 2,5 минус x минус 2)dx=

 = 2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби )dx=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит t\limits_0 в степени 1 (x в квадрате минус 2x плюс 1)dx= принадлежит t\limits_0 в степени 1 (x минус 1) в квадрате dx=\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (x минус 1) в кубе 01=0 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 1) в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3118

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 6, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10