Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3118

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси OY и образующими между собой угол 90°.

Спрятать решение

Решение.

Если прямая y=kx плюс b касается параболы y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3, то уравнение  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3=kx плюс b имеет единственный корень, то есть у уравнения x в квадрате плюс 2kx плюс 2b минус 6=0 дискриминант равен нулю. Значит,

4k в квадрате минус 4 левая круглая скобка 2b минус 6 правая круглая скобка =0 равносильно k в квадрате минус 2b плюс 6=0,

откуда b= дробь: числитель: k в квадрате плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби . Итак, касательные имеют вид y=kx плюс дробь: числитель: k в квадрате плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби .

Две касательные пересекаются на оси OY, если у них одинаковый свободный член в уравнениях прямых, что возможно только при противоположных k. Кроме того, раз эти прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно −1, откуда k умножить на левая круглая скобка минус k правая круглая скобка = минус 1, k=\pm 1 и уравнения касательных имеют вид y=\pm x плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби .

Ясно, что эти касательные симметричны друг другу относительно вертикальной оси, а график y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3 тоже симметричен относительно нее. Поэтому можно посчитать площадь только той части фигуры, которая лежит в полуплоскости x больше или равно 0 и удвоить ее. Касательная проходит выше параболы, поскольку ветви параболы направлены вниз, и касается параболы в точке. абсцисса которой удовлетворяет уравнению

 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3= минус x плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус x в квадрате плюс 6= минус 2x плюс 7 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x=1.

Значит, искомая площадь равна

S=2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 левая круглая скобка минус x плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка dx=2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 левая круглая скобка минус x плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус 3 правая круглая скобка dx=

 = 2 принадлежит t\limits_0 в степени 1 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка dx=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит t\limits_0 в степени 1 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_0 в степени 1 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате dx=\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе 01=0 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3124

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10