Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3118
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3 и двумя ка­са­тель­ны­ми к этому гра­фи­ку, про­хо­дя­щи­ми через точку на оси OY и об­ра­зу­ю­щи­ми между собой угол 90°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если пря­мая y=kx плюс b ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3, то урав­не­ние  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3=kx плюс b имеет един­ствен­ный ко­рень, то есть у урав­не­ния x в квад­ра­те плюс 2kx плюс 2b минус 6=0 дис­кри­ми­нант равен нулю. Зна­чит,

4k в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка 2b минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но k в квад­ра­те минус 2b плюс 6=0,

от­ку­да b= дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Итак, ка­са­тель­ные имеют вид y=kx плюс дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Две ка­са­тель­ные пе­ре­се­ка­ют­ся на оси OY, если у них оди­на­ко­вый сво­бод­ный член в урав­не­ни­ях пря­мых, что воз­мож­но толь­ко при про­ти­во­по­лож­ных k. Кроме того, раз эти пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны, про­из­ве­де­ние их уг­ло­вых ко­эф­фи­ци­ен­тов равно −1, от­ку­да k умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус k пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1, k=\pm 1 и урав­не­ния ка­са­тель­ных имеют вид y=\pm x плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ясно, что эти ка­са­тель­ные сим­мет­рич­ны друг другу от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси, а гра­фик y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3 тоже сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но нее. По­это­му можно по­счи­тать пло­щадь толь­ко той части фи­гу­ры, ко­то­рая лежит в по­лу­плос­ко­сти x боль­ше или равно 0 и удво­ить ее. Ка­са­тель­ная про­хо­дит выше па­ра­бо­лы, по­сколь­ку ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, и ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы в точке. абс­цис­са ко­то­рой удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3= минус x плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те плюс 6= минус 2x плюс 7 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но x=1.

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна

S=2 при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка минус x плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=2 при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка минус x плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=

= 2 при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx=\dvpod дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе 01=0 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3124

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 5 из 10