PDF-версии: 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси OY и образующими между собой угол 90°.
Решение. Если прямая
касается параболы 
то уравнение 
имеет единственный корень, то есть у уравнения 
дискриминант равен нулю. Значит,
откуда 
Итак, касательные имеют вид 
Две касательные пересекаются на оси OY, если у них одинаковый свободный член в уравнениях прямых, что возможно только при противоположных k. Кроме того, раз эти прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно −1, откуда 
и уравнения касательных имеют вид 
Ясно, что эти касательные симметричны друг другу относительно вертикальной оси, а график тоже симметричен относительно нее. Поэтому можно посчитать площадь только той части фигуры, которая лежит в полуплоскости 
и удвоить ее. Касательная проходит ниже параболы, поскольку ветви параболы направлены вверх, и касается параболы в точке, абсцисса которой удовлетворяет уравнению
Значит искомая площадь равна
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |