PDF-версии: 
На отрезке 
найдите нули функции 
и укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам возрастания.
Решение. Преобразуем исходную функцию:
Отсюда видно, что либо 
либо 
откуда
На указанном отрезке лежат точки 
Для ответа на последний вопрос возьмем производную исходной функции, записав ее в виде 
получим
Тогда
Наконец 
Представим производную в виде
Ясно, что при 
последняя скобка приблизительно равна двум и поэтому положительна, так что знак производной определяется знаком 
которое положительно при 
и отрицательно при 
поэтому в некоторой окрестности единицы функция сначала возрастает, а потом убывает. Так что 
не только точка экстремума, но и лежит на промежутке возрастания (являясь его концом) (Может показаться, что последнее уточнение было странным - ведь точка максимума всегда смыкает промежутки возрастания и убывания... Оказывается на самом деле это не так. Интересующихся примером функции, не монотонной ни в какой односторонней окрестности точки экстремума мы отсылаем к книге "`Контрпримеры в анализе"' Гельбаума и Олмстеда).
Ответ: 
из них на промежутках возрастания лежат два последних.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
из них на промежутках возрастания лежат два последних. из них на промежутках возрастания лежат два последних.