Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2938
i

Изоб­ра­зи­те мно­же­ство точек M (a; b) ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти Oab, таких, что урав­не­ние

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2a конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x в квад­ра­те минус bx\pm2a конец ар­гу­мен­та

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для того, чтобы это урав­не­ние имело два корня, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние x плюс 2a=3x в квад­ра­те минус bx плюс 2a имело ровно два раз­лич­ных корня и для них обоих вы­пол­ня­лось усло­вие x плюс 2a боль­ше или равно 0. Решим урав­не­ние x плюс 2a=3x в квад­ра­те минус bx плюс 2a:

x плюс 2a=3x в квад­ра­те минус bx плюс 2a рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 3x минус левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x=0 или x= дробь: чис­ли­тель: b плюс 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

(сразу от­ме­тим, что b= минус 1 не под­хо­дит, по­сколь­ку корни сов­па­да­ют).

Также не­об­хо­ди­мо, чтобы 2a боль­ше или равно 0 и  дробь: чис­ли­тель: b плюс 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2a боль­ше или равно 0. То есть a боль­ше или равно 0 и 6a плюс b плюс 1 боль­ше или равно 0. Каж­дое из этих усло­вий за­да­ет по­лу­плос­кость, а их пе­ре­се­че­ние за­да­ет угол с вер­ши­ной  левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Нас устра­и­ва­ют все точки этого угла, кроме точек, ле­жа­щих на го­ри­зон­таль­ном луче b= минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2943

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми
?
Сложность: 10 из 10