Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2943

Изобразите множество точек M (a; b) координатной плоскости Oab, таких, что уравнение  корень из (x минус 3b) = корень из (2x в квадрате плюс ax минус 3b) имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Для того, чтобы это уравнение имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение x минус 3b=2x в квадрате плюс ax минус 3b имело ровно два различных корня и для них обоих выполнялось условие x минус 3b больше или равно 0. Решим уравнение x минус 3b=2x в квадрате плюс ax минус 3b:

x минус 3b=2x в квадрате плюс ax минус 3b равносильно 2x в квадрате плюс (a минус 1)x=0 равносильно x(2x плюс a минус 1)=0 равносильно x=0 или x= дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби (сразу отметим, что a=1 не подходит, поскольку корни совпадают).

Также нужно, чтобы  минус 3b больше или равно 0 и  дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 2 конец дроби минус 3b больше или равно 0. То есть b меньше или равно 0 и 6b плюс a минус 1 меньше или равно 0. Каждое из этих условий задает полуплоскость, а их пересечение задает угол с вершиной (1; 0). Нас устраивают все точки этого угла, кроме точек, лежащих на вертикальном луче a=1.

 

Ответ: см. рисунок.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2938

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с двумя переменными
?
Сложность: 10 из 10