Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2928

Найдите общие точки графиков функций f(x)= корень из (x минус 3) плюс корень из (5 минус x) и g(x)=3 минус дробь: числитель: \arccos( минус дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби ), знаменатель: Пи конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Область определения функции f(x) — отрезок [3;5], область определения функции g(x) — отрезок [ минус 4;4]. Таким образом, если графики функций имеют общие точки, то их следует искать на отрезке [3;4].

Исследуем на монотонность функцию f(x). Найдем ее производную:

f'(x)= дробь: числитель: корень из (5 минус x) минус корень из (x минус 3) , знаменатель: 2 корень из (x минус 3) умножить на корень из (5 минус x) конец дроби .

Эта производная определена на промежутке (3;4] и положительна на промежутке (3;4). Из этого вытекает, что функция f(x) возрастает на [3;4]. Ее наименьшее значение на [3;4] — f(3)= корень из (2) и наибольшее — f(4)=2.

Исследуем на монотонность функцию g(x)

g(x)=3 минус дробь: числитель: \arccos( минус дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби ), знаменатель: Пи конец дроби =3 минус дробь: числитель: Пи минус \arccos дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: Пи конец дроби =2 плюс дробь: числитель: \arccos дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: Пи конец дроби .

Так как \arccos дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби  — убывающая функция, то и g(x)=2 плюс дробь: числитель: \arccos дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: Пи конец дроби  — тоже убывающая функция. Ее наименьшее значение на [3;4] — g(4)=2. Графики возрастающей функции имеют на этом промежутке не более одной общей точки. Так как f(4)=g(4)=2, то точка с координатами (4;2) — общая точка графиков функций f(x) и g(x).

 

Ответ: одна общая точка с координатами (4;2).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2931

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2002 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 10 из 10