Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2928
i

Най­ди­те общие точки гра­фи­ков функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус x конец ар­гу­мен­та и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус дробь: чис­ли­тель: арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка 3;5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Таким об­ра­зом, если гра­фи­ки функ­ций имеют общие точки, то их сле­ду­ет ис­кать на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Ис­сле­ду­ем на мо­но­тон­ность функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ее про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Эта про­из­вод­ная опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и по­ло­жи­тель­на на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 3;4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Из этого вы­те­ка­ет, что функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Ее наи­мень­шее зна­че­ние на  левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и наи­боль­шее  — f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2.

Ис­сле­ду­ем на мо­но­тон­ность функ­цию g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка

g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус дробь: чис­ли­тель: арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби =3 минус дробь: чис­ли­тель: Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби =2 плюс дробь: чис­ли­тель: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Так как  арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби   — убы­ва­ю­щая функ­ция, то и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 плюс дробь: чис­ли­тель: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби   — тоже убы­ва­ю­щая функ­ция. Ее наи­мень­шее зна­че­ние на  левая квад­рат­ная скоб­ка 3;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — g левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2. Гра­фи­ки воз­рас­та­ю­щей функ­ции имеют на этом про­ме­жут­ке не более одной общей точки. Так как f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2, то точка с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка 4;2 пра­вая круг­лая скоб­ка   — общая точка гра­фи­ков функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: одна общая точка с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка 4;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2931

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2002 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 10 из 10