№ 2931 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 15. Производная: экстремумы, монотонность, выпуклость
i
Найдите общие точки графиков функций
и 
Спрятать решениеРешение. Область определения функции
— отрезок
область определения функции
— отрезок
Из этого вытекает, что общие точки графиков данных функций следует искать на отрезке 
Исследуем функции
и
на монотонность.
Производная

существует на промежутке

и положительна на промежутке

Из этого следует, что функция

на промежутке

возрастает. Ее наименьшее значение —

наибольшее —

Функцию
преобразуем следующим образом:

Так как
убывает на всей области определения, то и функция
тоже убывает. Ее наименьшее значение 
Графики возрастающей и убывающей на одном и том же промежутке функций имеют на этом промежутке не более одной общей точки. Поэтому из того, что
следует, что точка с координатами
— общая точка графиков функций
и 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2928