Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2918
i

Опре­де­ли­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра c, при ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции y=x в сте­пе­ни 4 плюс cx в квад­ра­те минус 2x минус 11, про­ве­ден­ная в его точке с абс­цис­сой  —1, имеет с этим гра­фи­ком ровно одну.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная ис­ход­но­го вы­ра­же­ния равна y'=4x в кубе плюс 2ax минус 2. Зна­чит, y левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс a плюс 2 минус 3=a и y' левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4 минус 2a минус 2= минус 6 минус 2a. Тогда урав­не­ние ка­са­тель­ной будет иметь вид

y= левая круг­лая скоб­ка минус 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a рав­но­силь­но y= левая круг­лая скоб­ка минус 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 6 минус 2a плюс a рав­но­силь­но y= левая круг­лая скоб­ка минус 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x минус a минус 6.

Те­перь най­дем общие точки этой ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции. Для этого решим урав­не­ние

x в сте­пе­ни 4 плюс ax в квад­ра­те минус 2x минус 3= левая круг­лая скоб­ка минус 6 минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x минус a минус 6 рав­но­силь­но x в сте­пе­ни 4 плюс ax в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 3=0.

Одним из его кор­ней (при­чем крат­ным) долж­но быть x= минус 1, по­это­му мно­го­член рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, одним из ко­то­рых будет  левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1, тогда

x в сте­пе­ни 4 плюс ax в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 3=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x в кубе минус x в квад­ра­те плюс ax в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 3=
=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x в квад­ра­те плюс 2x минус x в квад­ра­те плюс ax в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 3=
= x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a плюс 3=
=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Зна­чит либо у пер­во­го мно­жи­те­ля нет кор­ней, то есть его дис­кри­ми­нант 4 минус 4 левая круг­лая скоб­ка 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка от­ри­ца­те­лен,  минус 4a минус 8 мень­ше 0, т. е. a боль­ше минус 2, либо его корни равны −1 (но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку сумма этих кор­ней по тео­ре­ме Виета равна 2).

 

Ответ: a боль­ше минус 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2912

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2002 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10