PDF-версии: 
Найдите все первообразные функции 
для которых выполняются два условия: на промежутке 
графики функций 
и 
не имеют общих точек и площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямыми 
и 
равна 1.
Решение. Любая первообразная функции 
может быть записана как 
Пусть график первообразной лежит выше, чем график 
Найдем для этого случая площадь описанной в условии фигуры:
По условию, эта площадь равна 1, следовательно, C = 4, а 
Проверим, действительно ли график найденной первообразной лежит выше графика функции f. Решим уравнение
Значит, пересечений нет,
Первообразная 
лежит выше графика функции. Теперь допустим, что график первообразной лежит ниже, чем график Тогда по условию
Тогда C = 1. Проверим, как расположены графики в этом случае. Решим уравнение:
Это уравнение имеет корни x = 2 и 
а на интервале (1; 2) справедливо неравенство 
Первообразная 
лежит ниже графика функции.
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |