Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2905
i

Най­ди­те все пер­во­об­раз­ные функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =6x плюс 2, для ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия: на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка гра­фи­ки функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не имеют общих точек и пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этими гра­фи­ка­ми и пря­мы­ми x=2 и x=3, равна 11.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Любая пер­во­об­раз­ная функ­ции 6x плюс 2 может быть за­пи­са­на как 3x в квад­ра­те плюс 2x плюс C. До­пу­стим, что ее гра­фик про­хо­дит выше чем гра­фик 6x плюс 2. Тогда по усло­вию

 при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те плюс 2x плюс C минус левая круг­лая скоб­ка 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =11 рав­но­силь­но при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =11 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |_2 в кубе =11 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 27 минус 2 умно­жить на 9 плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 минус 8 плюс 2 умно­жить на 4 минус левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2=11 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 27 минус 18 плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 плюс 8=11 рав­но­силь­но C минус 2=2 рав­но­силь­но C=4.

Про­ве­рим, как рас­по­ло­же­ны гра­фи­ки. Решим урав­не­ние

3x в квад­ра­те плюс 2x плюс 4=6x плюс 2 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2=0,

D=16 минус 4 умно­жить на 3 умно­жить на 2=16 минус 24 мень­ше 0.

Зна­чит, пе­ре­се­че­ний нет, 3x в квад­ра­те минус 4x плюс 2 боль­ше 0, т. е. 3x в квад­ра­те плюс 2x плюс 4 боль­ше 6x плюс 2. Такое C под­хо­дит. Те­перь до­пу­стим, что ее гра­фик про­хо­дит ниже чем гра­фик 6x плюс 2. Тогда по усло­вию

 при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 6x плюс 2 минус левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те плюс 2x плюс C пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =11 рав­но­силь­но при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 4x плюс C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 11 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |_2 в кубе = минус 11 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 27 минус 2 умно­жить на 9 плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 минус 8 плюс 2 умно­жить на 4 минус левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2= минус 11 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 27 минус 18 плюс левая круг­лая скоб­ка C минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 плюс 8= минус 11 рав­но­силь­но C минус 2= минус 20 рав­но­силь­но C= минус 18.

Про­ве­рим, как рас­по­ло­же­ны гра­фи­ки. Решим урав­не­ние:

3x в квад­ра­те плюс 2x минус 18=6x плюс 2 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 4x минус 20=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 2,x= дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 3. конец со­во­куп­но­сти .

Ни одна из этих точек не лежит на [2; 3]. Далее, при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка имеем:

 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 4x минус 20 мень­ше 0 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс 2x минус 18 мень­ше 6x плюс 2.

Зна­чит, гра­фик дей­стви­тель­но лежит ниже пря­мой. Такое C тоже под­хо­дит. По­лу­чим C  =  4 и C  =  −18.

 

Ответ: F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те плюс 2x минус 18 или F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те плюс 2x плюс 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2899

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 8 из 10