Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2905

Найдите все первообразные функции f(x)=6x плюс 2, для которых выполняются два условия: на промежутке (2;3) графики функций f(x) и F(x) не имеют общих точек и площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямыми x=2 и x=3, равна 11.

Спрятать решение

Решение.

Любая первообразная функции 6x плюс 2 может быть записана как 3x в квадрате плюс 2x плюс C. Допустим, что ее график проходит выше чем график 6x плюс 2. Тогда по условию

 принадлежит t\limits_2 в кубе (3x в квадрате плюс 2x плюс C минус (6x плюс 2))=11 равносильно принадлежит t\limits_2 в кубе (3x в квадрате минус 4x плюс C минус 2)=11 равносильно \left. левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате плюс (C минус 2)x правая круглая скобка |_2 в кубе =11 равносильно

 равносильно 27 минус 2 умножить на 9 плюс (C минус 2)3 минус 8 плюс 2 умножить на 4 минус (C минус 2)2=11 равносильно 27 минус 18 плюс (C минус 2) минус 8 плюс 8=11 равносильно C минус 2=2 равносильно C=4.

Проверим, как расположены графики. Решим уравнение

3x в квадрате плюс 2x плюс 4=6x плюс 2 равносильно 3x в квадрате минус 4x плюс 2=0,

D=16 минус 4 умножить на 3 умножить на 2=16 минус 24 меньше 0.

Значит, пересечений нет, 3x в квадрате минус 4x плюс 2 больше 0, т. е. 3x в квадрате плюс 2x плюс 4 больше 6x плюс 2. Такое C подходит. Теперь допустим, что ее график проходит ниже чем график 6x плюс 2. Тогда по условию

 принадлежит t\limits_2 в кубе (6x плюс 2 минус (3x в квадрате плюс 2x плюс C))=11 равносильно принадлежит t\limits_2 в кубе (3x в квадрате минус 4x плюс C минус 2)= минус 11 равносильно \left. левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате плюс (C минус 2)x правая круглая скобка |_2 в кубе = минус 11 равносильно

 равносильно 27 минус 2 умножить на 9 плюс (C минус 2)3 минус 8 плюс 2 умножить на 4 минус (C минус 2)2= минус 11 равносильно
 равносильно 27 минус 18 плюс (C минус 2) минус 8 плюс 8= минус 11 равносильно C минус 2= минус 20 равносильно C= минус 18.

Проверим, как расположены графики. Решим уравнение:

3x в квадрате плюс 2x минус 18=6x плюс 2 равносильно 3x в квадрате минус 4x минус 20=0 равносильно (x плюс 2)(3x минус 10)=0 равносильно совокупность выражений x= минус 2,x= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби больше 3. конец совокупности .

Ни одна из этих точек не лежит на [2; 3]. Далее, при x принадлежит левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка имеем:

(x плюс 2)(3x минус 10) меньше 0 равносильно 3x в квадрате минус 4x минус 20 меньше 0 равносильно 3x в квадрате плюс 2x минус 18 меньше 6x плюс 2.

Значит, график действительно лежит ниже прямой. Такое C тоже подходит. Получим C = 4 и C = −18.

 

Ответ: F(x)=3x в квадрате плюс 2x минус 18 или F(x)=3x в квадрате плюс 2x плюс 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2899

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Нахождение первообразных, Применение производной к решению задач
?
Сложность: 8 из 10