Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2889
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a су­ще­ству­ет хотя бы одно зна­че­ние b такое, что на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка b;b плюс 4 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка урав­не­ние 3 ко­си­нус x плюс 4 синус x=a имеет ровно один ко­рень? Для каж­до­го та­ко­го a ука­жи­те все зна­че­ния b.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим это урав­не­ние на  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5. По­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби синус x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Обо­зна­чим \varphi= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = арк­си­нус 35. По­лу­ча­ем

 ко­си­нус \varphi синус x плюс синус \varphi ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

От­сю­да ясно, что при a боль­ше 5 или a мень­ше минус 5 кор­ней нет, а при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 5;5 пра­вая круг­лая скоб­ка на любом про­ме­жут­ке дли­ной 2 Пи с вклю­чен­ным одним кон­цом (на­при­мер  левая круг­лая скоб­ка b;b плюс 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка будет два ре­ше­ния (а на всем про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка b;b плюс 4 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка уж точно не мень­ше двух).

По­это­му a=\pm 5. При этом

 синус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =\pm 1 рав­но­силь­но \varphi плюс x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= минус \varphi\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

То есть ре­ше­ния таких урав­не­ний пе­ри­о­ди­че­ски по­вто­ря­ют­ся с пе­ри­о­дом 2 Пи . Зна­чит, на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка b;b плюс 4 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка их было бы ровно два. По­это­му нужно, чтобы одно из них сов­па­да­ло с b. Окон­ча­тель­но, при a=5 под­хо­дят

b= минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

При a= минус 5 под­хо­дят

b= минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2895

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10