PDF-версии: 
Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям 
и 
Решение. Сразу заметим, что если z подходит в оба неравенства, то и 
подходит в оба неравенства. Поэтому если такое z единственно, то 
то есть z — вещественное число.
Геометрически эти условия означают, что z и находятся от точки 
на расстоянии меньшем a, то есть лежат внутри круга радиуса a с центром в точке 
Если 
то этот круг целиком содержится в первой четверти и не может содержать пару сопряженных точек или точку с горизонтальной оси.
При 
в круг попадает точка 
Ясно что при 
в круг не попадут никакие точки с целыми координатами из четвертой четверти (кроме лежащих на оси), поскольку расстояние от 
до прямой 
равно 4. С другой стороны, уже при 
в круг попадут точки 2 и 4, после чего условие единственности нарушится. При 
никакие целые точки кроме 
в круг не попадут (чем дальше точка на оси от 
тем больше у нее и расстояние до
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |