Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2835
i

На из­го­тов­ле­ние от­кры­то­го кон­тей­не­ра объ­е­мом 10 м3 в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, одна из бо­ко­вых гра­ней ко­то­ро­го  — квад­рат, тре­бу­ют­ся угол­ки по длине всех ребер (12 ребер) и фа­не­ра на бо­ко­вые стен­ки и пол. Цена угол­ков  — одна услов­ная еди­ни­ца (у. е.) за по­гон­ный метр, цена фа­не­ры  — 4 у. е. за квад­рат­ный метр. Ка­ко­вы долж­ны быть раз­ме­ры кон­тей­не­ра, чтобы рас­хо­ды на ма­те­ри­ал были ми­ни­маль­ны­ми?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть сто­ро­на квад­рат­ной грани кон­тей­не­ра равна x мет­ров, тогда его длина равна  дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби . Его по­верх­ность со­сто­ит из двух гра­ней раз­ме­ром x умно­жить на x, трех гра­ней раз­ме­ром x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , а среди ребер во­семь имеют длину x, а че­ты­ре  — длину  дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби .

Общие рас­хо­ды на кон­тей­нер тогда со­ста­вят

4 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс 3x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8x плюс 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби =8x в квад­ра­те плюс 8x плюс дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби у. е.

Нам нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем ее про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка 8x в квад­ра­те плюс 8x плюс дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '=16x плюс 8 плюс левая круг­лая скоб­ка 120x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 40x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=

=16x плюс 8 минус 120x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 80x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 8 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 минус 15x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни 4 плюс x в кубе минус 15x минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Мно­жи­тель  дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5x в кубе конец дроби по­ло­жи­те­лен при x боль­ше 0 и не ока­зы­ва­ет вли­я­ния на знак про­из­вод­ной.

У мно­го­чле­на 2x в сте­пе­ни 4 плюс x в кубе минус 15x минус 10 можно уга­дать ко­рень x=2, после чего вы­де­лить у него мно­жи­тель x минус 2

2x в сте­пе­ни 4 плюс x в кубе минус 15x минус 10= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x в кубе плюс 5x в квад­ра­те плюс 10x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вто­рой мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен при x боль­ше 0, по­это­му знак про­из­вод­ной сов­па­да­ет со зна­ком x минус 2. То есть про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на (а функ­ция убы­ва­ет) при x мень­ше 2 и про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (а функ­ция воз­рас­та­ет) при x боль­ше 2. Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние она при­ни­ма­ет при x=2. Раз­ме­ры кон­тей­не­ра тогда 2 × 2 × 2,5 метра.

 

Ответ: 2 × 2 × 2,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2829

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10