На изготовление открытого контейнера объемом 10 м3 в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого — квадрат, требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена фанеры — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры контейнера, чтобы расходы на материал были минимальными?
Пусть сторона квадратной грани контейнера равна x метров, тогда его длина равна Его поверхность состоит из двух граней размером
трех граней размером
а среди ребер восемь имеют длину x, а четыре — длину
Общие расходы на контейнер тогда составят
у. е.
Нам нужно найти наименьшее значение этой функции. Возьмем ее производную
Множитель положителен при
и не оказывает влияния на знак производной.
У многочлена можно угадать корень
после чего выделить у него множитель
Второй множитель положителен при поэтому знак производной совпадает со знаком
То есть производная отрицательна (а функция убывает) при
и производная положительна (а функция возрастает) при
Значит, наименьшее значение она принимает при
Размеры контейнера тогда 2 × 2 × 2,5 метра.
Ответ: 2 × 2 × 2,5.
Задание парного варианта: 2829

