PDF-версии: 
На изготовление открытого контейнера объемом 10 м3 в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого — квадрат, требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена фанеры — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры контейнера, чтобы расходы на материал были минимальными?
Решение. Пусть сторона квадратной грани контейнера равна x метров, тогда его длина равна 
Его поверхность состоит из двух граней размером 
трех граней размером 
а среди ребер восемь имеют длину x, а четыре — длину
Общие расходы на контейнер тогда составят
у. е.
Нам нужно найти наименьшее значение этой функции. Возьмем ее производную
Множитель 
положителен при 
и не оказывает влияния на знак производной.
У многочлена 
можно угадать корень 
после чего выделить у него множитель 
Второй множитель положителен при 
поэтому знак производной совпадает со знаком 
То есть производная отрицательна (а функция убывает) при 
и производная положительна (а функция возрастает) при 
Значит, наименьшее значение она принимает при 
Размеры контейнера тогда 2 × 2 × 2,5 метра.
Ответ: 2 × 2 × 2,5.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |