РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2817

Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс ax плюс b=0$ для любого значения b имеет ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде $x в степени 5 минус 5x в степени 4 плюс ax= минус b.$ По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция $x в степени 5 минус 5x в степени 4 плюс ax$ должна быть монотонной (иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция  — многочлен). Значит, производная этой функции $5x в степени 4 минус 20x в кубе плюс a$ должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при $xarrow минус бесконечность$ будет

$5x в степени 4 минус 20x в кубе плюс aarrow плюс бесконечность ,$

поэтому производная должна быть неотрицательна. То есть $5x в степени 4 минус 20x в кубе больше или равно минус a$ должно выполняться при всех x. Значит, нужно, чтобы $минус a$ не превосходило наименьшего значения функции $5x в степени 4 минус 20x в кубе .$ Найдем его. Возьмем ее производную

$20x в кубе минус 60x в квадрате =20x в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка .$

Это выражение положительно при $x больше 3$ и отрицательно при $x меньше 3$ (кроме $x=0,$ где оно равно 0). Значит, функция $5x в степени 4 минус 20x в кубе$ убывает при $x меньше 3,$ возрастает при $x больше 3$ и имеет наименьшее значение $5 умножить на 81 минус 20 умножить на 27= минус 135.$ Поэтому $минус a меньше или равно минус 135,$ откуда $a больше или равно 135.$

Ответ: $a больше или равно 135.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2823

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1999 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь