№ 2823 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 31. Задачи с параметром (без производной)
i
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
для любого значения b имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция 
должна быть монотонной (иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция — многочлен). Значит, производная этой функции 
должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при 
будет
поэтому производная должна быть неотрицательна. То есть
должно выполняться при всех
x.
Имеем 
Пусть сначала a положительно. Тогда при 
правая часть положительна, а левая отрицательна, поэтому неравенство выполнено. При 
можно поделить обе части на 
получим 
то есть 
должно быть не больше, чем наименьшее значение функции 
при 
Найдем его, взяв производную
Значит, при 
функция убывает, а при 
возрастает. Значит, ее наименьшее значение будет при 
и оно равно
Итак, 
откуда 
Если же a отрицательно, то заменим в неравенстве a на 
и x на 
Оно не изменится. Поэтому если для некоторого положительного a неравенство верно при всех x, то и для противоположного a оно верно при всех x. Наконец, при 
неравенство также верно при всех x
Окончательно 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2817
