PDF-версии: 
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
для любого значения b имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция 
должна быть монотонной (иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция — многочлен). Значит, производная этой функции 
должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при 
будет
должно выполняться при всех x. Значит, нужно, чтобы 
не превосходило наименьшего значения функции 
Найдем его. Возьмем ее производную
Это выражение положительно при 
и отрицательно при 
(кроме 
где оно равно 0). Значит, функция 
убывает при 
возрастает при и имеет наименьшее значение 
Поэтому 
откуда 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |