РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2804

Изобразите на комплексной плоскости множество всех таких точек $z_0,$ что для каждой из них для любого решения z уравнения $|z минус 3i|=|z минус z_0|$ выполняется условие $z в квадрате не равно ti$ для любого положительного $t принадлежит R .$

Спрятать решение

Решение.

Если $\absz минус 3i=\absz минус z_0,$ то точка z равноудалена от точек $3i$ и $z_0,$ поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку. Наоборот, любая такая точка подходит. Условие $z в квадрате не равно ti$ означает, что аргумент $z в квадрате$ не равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ то есть аргумент z не равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ или $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ То есть z не лежит на биссектрисе первой и третьей четвертей.

Итак, серединный перпендикуляр к отрезку не пересекает прямую $y=x.$ Значит, он ей параллелен, а тогда сам отрезок ей перпендикулярен (и параллелен прямой $y= минус x$ ). Проведем прямую, параллельную $y= минус x$ через точку $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка$ (соответствующую числу $3i$ ), это будет прямая $y= минус x плюс 3.$ Нас устроят почти все точки на ней, то есть точки вида

$x плюс левая круглая скобка минус x плюс 3 правая круглая скобка i=x минус ix плюс 3i.$

Есть лишь два исключения:

Во-первых, если $z_0=3i,$ то никакого отрезка нет, а условие $\absz минус 3i=\absz минус z_0$ выполнено всегда.

Во-вторых, если серединный перпендикуляр к отрезку окажется не параллелен биссектрисе, а совпадет с ней. Выясним, когда это произойдет. Для этого середина отрезка между точками $3i$ и $z_0=x минус ix плюс 3i$ должна попасть на прямую $y=x,$ откуда

$дробь: числитель: x минус ix плюс 6i, знаменатель: 2 конец дроби$

имеет одинаковую вещественную и мнимую часть, то есть

$x=6 минус x,$ $x=3,$ $z_0=3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2810

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1999 год, работа 1, вариант 1

? Классификатор: Изображение множеств комплексных чисел на плоскости

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь