РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2792

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $t в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс at плюс b=0$ для любого значения параметра b имеет ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде $t в степени 5 минус 5t в степени 4 плюс at= минус b.$ По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция $t в степени 5 минус 5t в степени 4 плюс at$ должна быть монотонной (иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция - многочлен). Значит, производная этой функции $5t в степени 4 минус 20t в кубе плюс a$ должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при $tarrow минус бесконечность$ будет $5t в степени 4 минус 20t в кубе плюс aarrow плюс бесконечность ,$ поэтому производная должна быть неотрицательна. То есть $5t в степени 4 минус 20t в кубе больше или равно минус a$ должно выполняться при всех t. Значит, нужно, чтобы $минус a$ не превосходило наименьшего значения функции $5t в степени 4 минус 20t в кубе .$ Найдем его. Возьмем ее производную $20t в кубе минус 60t в квадрате =20t в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка .$ Это выражение положительно при $t больше 3$ и отрицательно при $t меньше 3$ (кроме $t=0,$ где оно равно 0). Значит, функция $5t в степени 4 минус 20t в кубе$ убывает при $t меньше 3,$ возрастает при $t больше 3$ и имеет наименьшее значение при $t = 3$ : $5 умножить на 81 минус 20 умножить на 27= минус 135.$ Поэтому $минус a меньше или равно минус 135,$ откуда $a больше или равно 135.$

Ответ: $a больше или равно 135.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2798

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1

? Классификатор: Функции, зависящие от параметра

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь