№ 2798 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 31. Задачи с параметром (без производной)
i
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
для любого значения параметра b имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция 
должна быть монотонной, иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция — многочлен. Значит, производная этой функции 
должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при 
будет
поэтому производная должна быть неотрицательна. То есть неравенство 
или 
должно выполняться при всех u.
Пусть сначала a положительно. Тогда при 
правая часть положительна, а левая отрицательна, поэтому неравенство выполнено. При 
можно поделить обе части на 
получим 
то есть 
должно быть не больше, чем наименьшее значение функции 
при 
Найдем его, взяв производную:
Значит, при 
функция убывает, а при 
возрастает. Тогда ее наименьшее значение будет при 
и оно равно
Итак, 
откуда 
Если же a отрицательно, то заменим в неравенстве a на 
и u на 
Оно не изменится. Поэтому если для некоторого положительного a неравенство верно при всех u, то и для противоположного a оно верно при всех u.
Наконец, при 
неравенство также верно при всех u. Поэтому окончательно 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2792
