PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
для любого значения параметра b имеет ровно один корень.
Решение. Запишем уравнение в виде 
По условию, оно должно при каждом b иметь ровно один корень, значит, функция 
должна быть монотонной (иначе на двух соседних промежутках монотонности значения повторятся. Промежутки монотонности здесь будут, поскольку функция - многочлен). Значит, производная этой функции 
должна иметь один и тот же знак. Ясно, что при 
будет 
поэтому производная должна быть неотрицательна. То есть 
должно выполняться при всех t. Значит, нужно, чтобы 
не превосходило наименьшего значения функции 
Найдем его. Возьмем ее производную 
Это выражение положительно при 
и отрицательно при 
(кроме 
где оно равно 0). Значит, функция 
убывает при 
возрастает при и имеет наименьшее значение при 
: 
Поэтому 
откуда 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |