Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2790
i

Изоб­ра­зи­те на ком­плекс­ной плос­ко­сти мно­же­ство таких ком­плекс­ных чисел z, для ко­то­рых числа z и 2\barz плюс 4 минус 4i имеют оди­на­ко­вый ар­гу­мент.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс iy, где x, y при­над­ле­жит R . Если z=0, то у него может быть какой угод­но ар­гу­мент, оно под­хо­дит. Если же нет, то для ра­вен­ства ар­гу­мен­тов двух чисел не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы их част­ное было не­от­ри­ца­тель­ным ве­ще­ствен­ным чис­лом:

 дробь: чис­ли­тель: 2\overlinez плюс 4 минус 4i, зна­ме­на­тель: z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 минус 4i, зна­ме­на­тель: x плюс iy конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x минус 2iy плюс 4 минус 4i, зна­ме­на­тель: x плюс iy конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2iy плюс 4 минус 4i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс iy пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те минус 2ixy плюс 4x минус 4ix минус 2ixy минус 2y в квад­ра­те минус 4iy минус 4y, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те плюс 4x минус 2y в квад­ра­те минус 4y минус 4ixy минус 4ix минус 4iy, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те конец дроби .

Таким об­ра­зом, 4xy плюс 4x плюс 4y=0 и 2x в квад­ра­те плюс 4x минус 2y в квад­ра­те минус 4y боль­ше или равно 0.

Пер­вое усло­вие дает:

xy плюс x плюс y=0 рав­но­силь­но y левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус x рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: минус x, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби ,

это урав­не­ние ги­пер­бо­лы. Вто­рое усло­вие дает:

2x в квад­ра­те плюс 4x минус 2y в квад­ра­те минус 4y боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те плюс 2x минус 2y боль­ше или равно 0

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

это два из че­ты­рех углов, на ко­то­рые делят плос­кость пря­мые x минус y=0 и x плюс y плюс 2=0.

Най­дем точки их пе­ре­се­че­ния с ги­пер­бо­лой. Оче­вид­но, это точка  левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и те точки, где и ве­ще­ствен­ная и мни­мая часть числа  дробь: чис­ли­тель: 2\overlinez плюс 4 минус 4i, зна­ме­на­тель: z конец дроби равны нулю, то есть точка, где

2\overlinez плюс 4 минус 4i=0 рав­но­силь­но \overlinez= минус 2 плюс 2i  рав­но­силь­но z= минус 2 минус 2i,

это точка  левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­ко­мое мно­же­ство изоб­ра­же­но на ри­сун­ке.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2796

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 7 из 10