PDF-версии: 
Найдите все действительные значения b, такие, что система неравенств 
имеет ровно одно решение на множестве комплексных чисел.
Решение. Первое условие задает круг радиуса b с центром в точке 
и радиусом 3, а второе — круг радиусом 
с центром в точке 
Эти круги могут иметь одну общую точку в двух случаях.
Первый случай: они касаются внешним образом, тогда расстояние между их центрами должно быть равно сумме радиусов, то есть
Возводя в квадрат, получим
Ясно, что отрицательное b не подходит (при нем нет никакого круга), а положительное подходит.
Второй случай: второй круг вырождается в точку (это возможно при 
тогда это точка 
и она действительно лежит в первом круге).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |