Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2721
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при ко­то­рых урав­не­ния \log _2x в квад­ра­те плюс \log _2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =p и \log _2x плюс \log _4 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби p рав­но­силь­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ход­ные урав­не­ния рав­но­силь­ны тогда и толь­ко тогда, когда имеют оди­на­ко­вые корни. Вто­рое урав­не­ние имеет ОДЗ x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , а пер­вое  — x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . При этом на ОДЗ оба они сво­дят­ся к

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =p

(пер­вое  — про­сто фор­му­лой ло­га­риф­ма про­из­ве­де­ния, а вто­рое  — пе­ре­хо­дом к ос­но­ва­нию 2 и умно­же­ни­ем на 2 перед при­ме­не­ни­ем той же фор­му­лы), то есть к x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни p . Зна­чит, они рав­но­силь­ны в том и толь­ко том слу­чае, когда это урав­не­ние не имеет кор­ней на левая круг­лая скоб­ка минус 3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вы­яс­ним, какие зна­че­ния при­ни­ма­ет f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе плюс 3x в квад­ра­те на левая круг­лая скоб­ка минус 3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Для этого возь­мем про­из­вод­ную

левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка '=3x в квад­ра­те плюс 6x=3x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­на при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . При этом

f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 8 плюс 12=4.

Зна­чит, 2 в сте­пе­ни p не долж­но быть от 0 до 4. Имеем 2 в сте­пе­ни p боль­ше 4, то есть p боль­ше 2.

 

Ответ: p боль­ше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2727

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025