Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2721

Найдите все значения параметра p, при которых уравнения \log _2x в квадрате плюс \log _2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =p и \log _2x плюс \log _4 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби p равносильны.

Спрятать решение

Решение.

Исходные уравнения равносильны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые корни. Второе уравнение имеет ОДЗ x принадлежит левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка , а первое — x принадлежит левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка . При этом на ОДЗ оба они сводятся к

 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =p

(первое — просто формулой логарифма произведения, а второе — переходом к основанию 2 и умножением на 2 перед применением той же формулы), то есть к x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =2 в степени p . Значит, они равносильны в том и только том случае, когда это уравнение не имеет корней на  левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка .

Выясним, какие значения принимает f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 3x в квадрате на  левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка . Для этого возьмем производную

 левая круглая скобка x в кубе плюс 3x в квадрате правая круглая скобка '=3x в квадрате плюс 6x=3x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,

поэтому производная положительна при x принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка и отрицательна при x принадлежит левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка . Значит, функция возрастает при x принадлежит левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка и убывает при x принадлежит левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка . При этом

f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =0,

f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус 8 плюс 12=4.

Значит, 2 в степени p не должно быть от 0 до 4. Имеем 2 в степени p больше 4, то есть p больше 2.

 

Ответ: p больше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2727

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Уравнения с параметром
?
Сложность: 10 из 10