Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2727

При каких значениях параметра b, уравнения \log _2(x плюс b) в квадрате плюс \log _2x=5 и 2\log _2(x плюс b) минус \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x=5 не являются равносильными.

Спрятать решение

Решение.

Исходные уравнения равносильны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые корни. Пусть сначала b больше или равно 0, тогда ОДЗ обоих уравнений это x больше 0 и на этой ОДЗ они оба сводятся к

 логарифм по основанию 2 (x плюс b) в квадрате плюс логарифм по основанию 2 x=5

(во втором достаточно внести множитель под первый логарифм и перейти к основанию 2 во втором), поэтому они равносильны.

Если же b меньше 0, то ОДЗ первого это (0; минус b)\cup ( минус b; плюс принадлежит fty), а ОДЗ второго это ( минус b; плюс принадлежит fty). При этом на ОДЗ они по-прежнему сводятся к одному уравнению и потому равносильны, поэтому для того, чтобы они не были равносильны, первое должно иметь корень на (0; минус b). Оно дает x(x плюс b) в квадрате =2 в степени 5 . Функция

f(x)=x(x плюс b) в квадрате =x(x в квадрате плюс 2xb плюс b в квадрате )=x в кубе плюс 2x в квадрате b плюс xb в квадрате

имеет производную

f'(x)=3x в квадрате плюс 4xb плюс b в квадрате =(x плюс b)(3x плюс b).

Первое слагаемое отрицательно на всем промежутке, а второе отрицательно при x меньше минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби и положительно при x больше минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби , значит, производная положительна при x принадлежит (0; минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби ) и отрицательна при x принадлежит ( минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби ; минус b). Следовательно, функция принимает наибольшее значение на этом интервале при x= минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби и это значение должно быть не меньше 32 (тогда по непрерывности значение 32 тоже будет, поскольку есть значения, не меньшие 32, а также примерно равные 0 (при x\approx 0). Подставляя x= минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби в функцию, получаем неравенство

 минус дробь: числитель: b, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 2b, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате больше или равно 32 равносильно 4b в кубе меньше или равно минус 32 умножить на 27 равносильно b в кубе меньше или равно минус 8 умножить на 27 равносильно b в кубе меньше или равно ( минус 6) в кубе равносильно b меньше или равно минус 6.

Итак, они не равносильны при b меньше или равно минус 6.

 

Ответ: −6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2721

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с параметром
?
Сложность: 10 из 10